Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Penjumlahan Dan Pengurangan Sinus Dan Cosinus

Soal Latihan 1

1. Sederhanakan :
   1. $\frac{Cos\; 75°\; -\; Cos\; 15°}{Sin\; 75°\; +\; Sin\; 15°}$
   2. $\frac{Sin\; 75°\; -\; Cos\; 75°}{Cos\; 75°\; +\; Cos\; 15°}$
   3. $\frac{Cos\; 105°\; +\; Cos\; 15°}{Sin\; 105°\; -\; Sin\; 15°}$
2. Buktikan identitas berikut :
   1. $\frac{Sin\; 7a\; -\; Sin\; 5a}{Cos\; 7a\; +\; Cos\; 5a}=\mathrm{Tan\; a}$
   2. $\frac{Sin\; a\; +\; Sin\; 3a}{Cos\; a\; -\; Cos\; 3a}=\mathrm{Cot\; a}$
   3. $\frac{Sin\; a\; +\; Sin\; 2a}{Cos\; a\; -\; Cos\; 2a}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
3. Buktikan :
   1. $\frac{Sin\; 4A\; +\; Sin\; 2A}{Cos\; 4A\; +\; Cos\; 2A}=\mathrm{Tan\; 3A}$
   2. $\frac{Cos\; 3A\; -\; Cos\; 5A}{Sin\; 3A\; -\; Sin\; A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
4. Jika k = Sin a + Sin b dan m = Cos a + Cos b. Buktikan :
   1. $\mathrm{k}+\mathrm{m}=2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}$
   2. $\mathrm{k}=\mathrm{m}\mathrm{Tan}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})$

Jawab :

1. 1. $\frac{Cos\; 75°\; -\; Cos\; 15°}{Sin\; 75°\; +\; Sin\; 15°}$
      $=\frac{-2\; Sin\left(\frac{75°\; +\; 15°}{2}\right).\; Sin\left(\frac{75°\; -\; 15°}{2}\right)}{2\; Sin\left(\frac{75°\; +\; 15°}{2}\right).\; Cos\left(\frac{75°\; +\; 15°}{2}\right)}$
      $=\frac{-2\; Sin\; 45°\; .\; Sin\; 30°}{2\; Sin\; 45°\; .\; Cos\; 30°}$
      $=\frac{-2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}}{2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}}$
      $=\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{3}}$
      $=-\frac{1}{\sqrt{3}}$
      $=-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
      
   
   
   2. $\frac{Sin\; 75°\; -\; Cos\; 75°}{Cos\; 75°\; +\; Cos\; 15°}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi)
      $=\frac{Sin\; 75°\; -\; Cos\; (90°\; -\; 15°)}{Cos\; 75°\; +\; Cos\; 15°}$
      $=\frac{Sin\; 75°\; -\; Sin\; 15°}{Cos\; 75°\; +\; Cos\; 15°}$
      $=\frac{2\; Cos\left(\frac{75°\; +\; 15°}{2}\right).\; Sin\left(\frac{75°\; -\; 15°}{2}\right)}{2\; Cos\left(\frac{75°\; +\; 15°}{2}\right).\; Cos\left(\frac{75°\; -\; 15°}{2}\right)}$
      $=\frac{2\; Cos\; 45°\; .\; Sin\; 30°}{2\; Cos\; 45°\; .\; Cos\; 30°}$
      $=\frac{2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}}{2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}}$
      $=\frac{1}{\sqrt{3}}$
      $=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
      
   
   
   3. $\frac{Cos\; 105°\; +\; Cos\; 15°}{Sin\; 105°\; -\; Sin\; 15°}$
      $=\frac{2\; Cos\left(\frac{105°\; +\; 15°}{2}\right).\; Cos\left(\frac{105°\; -\; 15°}{2}\right)}{2\; Cos\left(\frac{105°\; +\; 15°}{2}\right).\; Sin\left(\frac{105°\; -\; 15°}{2}\right)}$
      $=\frac{2\; Cos\; 60°\; .\; Cos\; 45°}{2\; Cos\; 60°\; .\; Sin\; 45°}$
      $=\frac{2\; .\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2}}{2\; .\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sqrt{2}}$
      $=1$
      


2. 1. $\frac{Sin\; 7a\; -\; Sin\; 5a}{Cos\; 7a\; +\; Cos\; 5a}=\mathrm{Tan\; a}$
      $\frac{2\; Cos\left(\frac{7a\; +\; 5a}{2}\right).\; Sin\left(\frac{7a\; -\; 5a}{2}\right)}{2\; Cos\left(\frac{7a\; +\; 5a}{2}\right).\; Cos\left(\frac{7a\; -\; 5a}{2}\right)}=\mathrm{Tan\; a}$
      $\frac{2\; Cos\; 6a\; .\; Sin\; a}{2\; Cos\; 6a\; .\; Cos\; a}=\mathrm{Tan\; a}$
      $\frac{Sin\; a}{Cos\; a}=\mathrm{Tan\; a}$
      (Dengan Menggunakan Identitas Trigonometri)
      $\mathrm{Tan\; a}=\mathrm{Tan\; a}$
      
   
   
   2. $\frac{Sin\; a\; +\; Sin\; 3a}{Cos\; a\; -\; Cos\; 3a}=\mathrm{Cot\; a}$
      $\frac{2\; Sin\left(\frac{a\; +\; 3a}{2}\right).\; Cos\left(\frac{a\; -\; 3a}{2}\right)}{-2\; Sin\left(\frac{a\; +\; 3a}{2}\right).\; Sin\left(\frac{a\; -\; 3a}{2}\right)}=\mathrm{Cot\; a}$
      $\frac{2\; Sin\; 2a\; .\; Cos\; (-a)}{-2\; Sin\; 2a\; .\; Sin\; (-a)}=\mathrm{Cot\; a}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi)
      $\frac{Cos\; a}{-(-Sin\; a)}=\mathrm{Cot\; a}$
      $\frac{Cos\; a}{Sin\; a}=\mathrm{Cot\; a}$
      (Dengan Menggunakan Identitas Trigonometri)
      $\mathrm{Cot\; a}=\mathrm{Cot\; a}$
      
   
   
   3. $\frac{Sin\; a\; +\; Sin\; 2a}{Cos\; a\; -\; Cos\; 2a}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
      $\frac{2\; Sin\left(\frac{a\; +\; 2a}{2}\right).\; Cos\left(\frac{a\; -\; 2a}{2}\right)}{-2\; Sin\left(\frac{a\; +\; 2a}{2}\right).\; Sin\left(\frac{a\; -\; 2a}{2}\right)}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
      $\frac{2\; Sin\frac{3}{2}a\; .\; Cos(-\frac{1}{2}\mathrm{a})}{-2\; Sin\frac{3}{2}a\; .\; Sin(-\frac{1}{2}\mathrm{a})}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi)
      $\frac{Cos\frac{1}{2}\mathrm{a}}{-(-Sin\frac{1}{2}\mathrm{a})}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
      $\frac{Cos\frac{1}{2}\mathrm{a}}{Sin\frac{1}{2}\mathrm{a}}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
      (Dengan Menggunakan Identitas Trigonometri)
      $\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
      


3. 1. $\frac{Sin\; 4A\; +\; Sin\; 2A}{Cos\; 4A\; +\; Cos\; 2A}=\mathrm{Tan\; 3A}$
      $\frac{2\; Sin\left(\frac{4A\; +\; 2A}{2}\right).\; Cos\left(\frac{4A\; -\; 2A}{2}\right)}{2\; Cos\left(\frac{4A\; +\; 2A}{2}\right).\; Cos\left(\frac{4A\; -\; 2A}{2}\right)}=\mathrm{Tan\; 3A}$
      $\frac{2\; Sin\; 3A\; .\; Cos\; A}{2\; Cos\; 3A\; .\; Cos\; A}=\mathrm{Tan\; 3A}$
      $\frac{Sin\; 3A}{Cos\; 3A}=\mathrm{Tan\; 3A}$
      (Dengan Menggunakan Identitas Trigonometri)
      $\mathrm{Tan\; 3A}=\mathrm{Tan\; 3A}$
      
   
   
   2. $\frac{Cos\; 3A\; -\; Cos\; 5A}{Sin\; 3A\; -\; Sin\; A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      $\frac{-2\; Sin\left(\frac{3A\; +\; 5A}{2}\right).\; Sin\left(\frac{3A\; -\; 5A}{2}\right)}{2\; Cos\left(\frac{3A\; +\; A}{2}\right).\; Sin\left(\frac{3A\; -\; A}{2}\right)}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      $\frac{-2\; Sin\; 4A\; .\; Sin\; (-A)}{2\; Cos\; 2A\; .\; Sin\; A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi)
      $\frac{-2\; Sin\; 4A\; .\; (-Sin\; A)}{2\; Cos\; 2A\; .\; Sin\; A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      $\frac{2\; Sin\; 4A\; .\; Sin\; A}{2\; Cos\; 2A\; .\; Sin\; A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      $\frac{Sin\; 4A}{Cos\; 2A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      $\frac{Sin\; 2(2A)}{Cos\; 2A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Rangkap)
      $\frac{2\; Sin\; 2A\; .\; Cos\; 2A}{Cos\; 2A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      $\mathrm{2\; Sin\; 2A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
      


4. k = Sin a + Sin b
   m = Cos a + Cos b
   
   
   1. $\mathrm{k}+\mathrm{m}=2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}$
      $\mathrm{(Sin\; a\; +\; Sin\; b)}+\mathrm{(Cos\; a\; +\; Cos\; b)}=2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}$
      $2.\mathrm{Sin}\left(\frac{a\; +\; b}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{a\; -\; b}{2}\right)+2.\mathrm{Cos}\left(\frac{a\; +\; b}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{a\; -\; b}{2}\right)=2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}$
      $2.\mathrm{Sin}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}).\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})+2.\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}).\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})=2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}$
      $2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}=2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}$
      
   
   
   2. $\mathrm{k}=\mathrm{m}\mathrm{Tan}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})$
      $\mathrm{Sin\; a\; +\; Sin\; b}=\mathrm{(Cos\; a\; +\; Cos\; b)}.\mathrm{Tan}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})$
      $2.\mathrm{Sin}\left(\frac{a\; +\; b}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{a\; -\; b}{2}\right)=\{2.\mathrm{Cos}(\frac{a\; +\; b}{2}).\mathrm{Cos}(\frac{a\; -\; b}{2}\left)\right\}.\mathrm{Tan}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})$
      $2.\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\mathrm{(a\; +\; b)}.\mathrm{Cos}\frac{1}{2}\mathrm{(a\; -\; b)}=2.\mathrm{Cos}\frac{1}{2}\mathrm{(a\; +\; b)}.\mathrm{Cos}\frac{1}{2}\mathrm{(a\; -\; b)}.\frac{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})}{\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})}$
      $2.\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\mathrm{(a\; +\; b)}.\mathrm{Cos}\frac{1}{2}\mathrm{(a\; -\; b)}=2.\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\mathrm{(a\; +\; b)}.\mathrm{Cos}\frac{1}{2}\mathrm{(a\; -\; b)}.$