Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Perkalian Sinus dan Cosinus

Soal Latihan 1

1. Nyatakan sebagai jumlah sinus atau cosinus dan sederhanakan jika mungkin :
   1. 2 Sin 145° Cos 55°
   2. Sin (π + x) . Cos (π - x)
   3. 4 Cos (x + y) . Sin (x - y)
   4. Cos 285° . Cos 15°
   5. $2.\mathrm{Cos}(\frac{\pi }{2}+\mathrm{x}).\mathrm{Cos}(\frac{\pi }{2}-\mathrm{x})$
   6. Sin (p - q) . Sin (p + q)
2. Sederhanakan :
   1. 2 Cos 50° Cos 40° - 2 Sin 95° . Sin 85°
   2. Sin 52° . Sin 68° - Sin 47° . Cos 77° - Cos 65° . Cos 81°
3. Buktikan :
   1. 2 Sin 3A . Sin 4A + 2 Cos 5A . Cos 2A - Cos 3A = Cos A
   2. Sin 3B + (Cos B + Sin B)(1 - 2 Sin 2B) = Cos 3B
   3. Cos (A + B) . Cos (A - B) + 1 = Cos²A + Cos²B
   4. 8 Sin 20° Sin 40° Sin 80° = $\sqrt{3}$
   5. Sin 52° Sin 68° - Sin 47° Cos 77° - Cos 65° Cos 81° = $\frac{1}{2}$
   6. 2 - 2 Cos 5x Cos 3x - 2 Sin 5x Sin 3x = 4 Sin² x

Jawab :

1. 1. 2 Sin 145° Cos 55° = Sin (145° + 55°) + Sin (145° - 55°) = Sin 200° + Sin 90° = Sin 200° + 1
   
   
   2. Sin (π + x) . Cos (π - x) = $\frac{1}{2}\left\{\mathrm{Sin}\right\{(\pi +\mathrm{x})+(\pi -\mathrm{x})\}+\mathrm{Sin}\{(\pi +\mathrm{x})-(\pi -\mathrm{x})\left\}\right\}$
      $=\frac{1}{2}(\mathrm{Sin}2\pi +\mathrm{Sin}\mathrm{2x})$
      $=\frac{1}{2}\mathrm{Sin}2\pi +\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{2x}$
      (Dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi dan Tabel Trigonometri Sudut - Sudut Istimewa)
      $=0+\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{2x}$
      $=\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{2x}$
      
   
   
   3. 4 Cos (x + y) . Sin (x - y) = 2 {Sin {(x + y) + (x - y)} - Sin {(x + y) - (x - y)}} = 2 (Sin 2x - Sin 2y) = 2 Sin 2x - 2 Sin 2y
   
   
   4. Cos 285° . Cos 15° = $\frac{1}{2}\left\{\mathrm{Cos}\right(\mathrm{285°}+\mathrm{15°})+\mathrm{Cos}(\mathrm{285°}-\mathrm{15°}\left)\right\}$
      $=\frac{1}{2}(\mathrm{Cos}\mathrm{300°}+\mathrm{Cos}\mathrm{270°})$ [Dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi]
      $=\frac{1}{2}\{\mathrm{Cos}\mathrm{60°}+(-\mathrm{Sin}\mathrm{0°}\left)\right\}$
      $=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-0)$
      $=\frac{1}{4}$
      
   
   
   5. $2.\mathrm{Cos}(\frac{\pi }{2}+\mathrm{x}).\mathrm{Cos}(\frac{\pi }{2}-\mathrm{x})=\mathrm{Cos}\left\{\right(\frac{\pi }{2}+\mathrm{x})+(\frac{\pi }{2}-\mathrm{x}\left)\right\}+\mathrm{Cos}\left\{\right(\frac{\pi }{2}+\mathrm{x})-(\frac{\pi }{2}-\mathrm{x}\left)\right\}$
      $=\mathrm{Cos}\mathrm{\pi }+\mathrm{Cos}\mathrm{2x}$   [Dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi]
      $=-\mathrm{Cos}\mathrm{0°}+\mathrm{Cos}\mathrm{2x}$
      $=-1+\mathrm{Cos}\mathrm{2x}$
      $=\mathrm{Cos}\mathrm{2x}-1$
      
   
   
   6. Sin (p - q) . Sin (p + q) = $-\frac{1}{2}\left\{\mathrm{Cos}\right\{\mathrm{(p\; -\; q)}+\mathrm{(p\; +\; q)}\}-\mathrm{Cos}\{\mathrm{(p\; -\; q)}-\mathrm{(p\; +\; q)}\left\}\right\}$
      $=-\frac{1}{2}(\mathrm{Cos}\mathrm{2p}-\mathrm{Cos}\mathrm{(-2q)})$
      $=-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{2p}+\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{2q}$
      $=\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{2q}-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{2p}$
      


2. 1. 2 Cos 50° Cos 40° - 2 Sin 95° . Sin 85°
      = Cos (50° + 40°) + Cos (50° - 40°) + Cos (95° + 85°) - Cos (95° - 85°)
      = Cos 90° + Cos 10° + Cos 180° - Cos 10°
      (Dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi dan Tabel Trigonometri Sudut - Sudut Istimewa)
      = 0 + (-1)
      = -1
   
   
   2. Sin 52° . Sin 68° - Sin 47° . Cos 77° - Cos 65° . Cos 81°
      = $-\frac{1}{2}\{\mathrm{Cos}\mathrm{(52°\; +\; 68°)}-\mathrm{Cos}\mathrm{(52°\; -\; 68°)}\}-\frac{1}{2}\{\mathrm{Sin}\mathrm{(47°\; +\; 77°)}+\mathrm{Sin}\mathrm{(47°\; -\; 77°)}\}-\frac{1}{2}\{\mathrm{Cos}\mathrm{(65°\; +\; 81°)}+\mathrm{Cos}\mathrm{(65°\; -\; 81°)}\}$
      = $-\frac{1}{2}\{\mathrm{Cos}\mathrm{120°}-\mathrm{Cos}\mathrm{(-16°)}\}-\frac{1}{2}\{\mathrm{Sin}\mathrm{124°}+\mathrm{Sin}\mathrm{(-30°)}\}-\frac{1}{2}\{\mathrm{Cos}\mathrm{146°}+\mathrm{Cos}\mathrm{(-16°)}\}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi)
      = $-\frac{1}{2}(-\mathrm{Cos}\mathrm{60°})+\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{16°}-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{124°}+\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{30°}-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{146°}-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{16°}$
      = $\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{60°}-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{124°}+\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{30°}-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{146°}$
      (Dengan Menggunakan Tabel Trigonometri Sudut - Sudut Istimewa)
      = $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{124°}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{146°}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi)
      = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{124°}-\frac{1}{2}(-\mathrm{Sin}\mathrm{124°})$
      = $\frac{1}{2}$


3. 1. 2 Sin 3A . Sin 4A + 2 Cos 5A . Cos 2A - Cos 3A = Cos A
      -{Cos (3A + 4A) - Cos (3A - 4A)} + Cos (5A + 2A) + Cos (5A - 2A) - Cos 3A = Cos A
      -{Cos 7A - Cos (-A)} + Cos 7A + Cos 3A - Cos 3A = Cos A
      -Cos 7A + Cos A + Cos 7A = Cos A
      Cos A = Cos A
   
   
   2. Sin 3B + (Cos B + Sin B)(1 - 2 Sin 2B) = Cos 3B
      Sin 3B + Cos B - 2 Cos B . Sin 2B + Sin B - 2 Sin 2B . Sin B = Cos 3B
      Sin 3B + Cos B - {Sin (B + 2B) - Sin (B - 2B)} + Sin B + Cos (2B + B) - Cos (2B - B) = Cos 3B
      Sin 3B + Cos B - Sin 3B + Sin (-B) + Sin B + Cos 3B - Cos B = Cos 3B
      Sin 3B + Cos B - Sin 3B - Sin B + Sin B + Cos 3B - Cos B = Cos 3B
      Cos 3B = Cos 3B
   
   
   3. Cos (A + B) . Cos (A - B) + 1 = Cos²A + Cos²B
      $\frac{1}{2}\left\{\mathrm{Cos}\right\{\mathrm{(A\; +\; B)}+\mathrm{(A\; -\; B)}\}+\mathrm{Cos}\{\mathrm{(A\; +\; B)}-\mathrm{(A\; -\; B)}\left\}\right\}+1={\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}+{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}$
      $\frac{1}{2}\{\mathrm{Cos}\mathrm{2A}+\mathrm{Cos}\mathrm{2B}\}+1={\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}+{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}$
      $\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{2A}+\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{2B}+1={\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}+{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Rangkap)
      $\frac{1}{2}(2{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}-1)+\frac{1}{2}(2{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}-1)+1={\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}+{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}$
      ${\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}-\frac{1}{2}+{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}-\frac{1}{2}+1={\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}+{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}$
      ${\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}+{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}={\mathrm{Cos}}^2\mathrm{A}+{\mathrm{Cos}}^2\mathrm{B}$
      
   
   
   4. 8 Sin 20° Sin 40° Sin 80° = $\sqrt{3}$
      -4 (-2 Sin 20° Sin 40°) Sin 80° = $\sqrt{3}$
      -4 { Cos (20° + 40°) - Cos (20° - 40°) } Sin 80° = $\sqrt{3}$
      -4 { Cos 60° - Cos (-20°) } Sin 80° = $\sqrt{3}$
      $-4(\frac{1}{2}-\mathrm{Cos}\mathrm{20°})\mathrm{Sin}\mathrm{80°}=\sqrt{3}$
      $(-2+4\mathrm{Cos}\mathrm{20°})\mathrm{Sin}\mathrm{80°}=\sqrt{3}$
      $-2\mathrm{Sin}\mathrm{80°}+4\mathrm{Cos}\mathrm{20°}\mathrm{Sin}\mathrm{80°}=\sqrt{3}$
      $-2\mathrm{Sin}\mathrm{80°}+2\left\{\mathrm{Sin}\right(\mathrm{20°}+\mathrm{80°})-\mathrm{Sin}(\mathrm{20°}-\mathrm{80°}\left)\right\}=\sqrt{3}$
      $-2\mathrm{Sin}\mathrm{80°}+2\{\mathrm{Sin}\mathrm{100°}-\mathrm{Sin}(-\mathrm{60°}\left)\right\}=\sqrt{3}$
      $-2\mathrm{Sin}\mathrm{80°}+2\mathrm{Sin}\mathrm{100°}+2\mathrm{Sin}\mathrm{60°}=\sqrt{3}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi dan Tabel Trigonometri Sudut - Sudut Istimewa)
      $-2\mathrm{Sin}\mathrm{80°}+2\mathrm{Sin}\mathrm{80°}+2\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}$
      $\sqrt{3}=\sqrt{3}$
      
   
   
   5. Sin 52° Sin 68° - Sin 47° Cos 77° - Cos 65° Cos 81° = $\frac{1}{2}$
      $-\frac{1}{2}\left\{\mathrm{Cos}\right(\mathrm{52°}+\mathrm{68°})-\mathrm{Cos}(\mathrm{52°}-\mathrm{68°}\left)\right\}-\frac{1}{2}\left\{\mathrm{Sin}\right(\mathrm{47°}+\mathrm{77°})+\mathrm{Sin}(\mathrm{47°}-\mathrm{77°}\left)\right\}-\frac{1}{2}\left\{\mathrm{Cos}\right(\mathrm{65°}+\mathrm{81°})+\mathrm{Cos}(\mathrm{65°}-\mathrm{81°}\left)\right\}=\frac{1}{2}$
      $-\frac{1}{2}\{\mathrm{Cos}\mathrm{120°}-\mathrm{Cos}(-\mathrm{16°}\left)\right\}-\frac{1}{2}\{\mathrm{Sin}\mathrm{124°}+\mathrm{Sin}(-\mathrm{30°}\left)\right\}-\frac{1}{2}\{\mathrm{Cos}\mathrm{146°}+\mathrm{Cos}(-\mathrm{16°}\left)\right\}=\frac{1}{2}$
      $-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{120°}+\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{16°}-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{124°}+\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{30°}-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{146°}-\frac{1}{2}\mathrm{Cos}\mathrm{16°}=\frac{1}{2}$
      (Dengan Menggunakan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi dan Tabel Trigonometri Sudut - Sudut Istimewa)
      $-\frac{1}{2}(-\mathrm{Cos}\mathrm{60°})-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{124°}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}(-\mathrm{Sin}\mathrm{124°})=\frac{1}{2}$
      $-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{124°}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{124°}=\frac{1}{2}$
      $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
      $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
      
   
   
   6. 2 - 2 Cos 5x Cos 3x - 2 Sin 5x Sin 3x = 4 Sin² x
      2 - { Cos (5x + 3x) + Cos (5x - 3x) } + { Cos (5x + 3x) - Cos (5x - 3x) } = 4 Sin² x
      2 - ( Cos 8x + Cos 2x ) + ( Cos 8x - Cos 2x ) = 4 Sin² x
      2 - Cos 8x - Cos 2x + Cos 8x - Cos 2x = 4 Sin² x
      2 - 2 Cos 2x = 4 Sin² x
      2 - 2 (1 - 2 Sin² x) = 4 Sin² x
      2 - 2 + 4 Sin² x = 4 Sin² x
      4 Sin² x = 4 Sin² x