Perkalian Matriks

1. Perkalian Matriks Dengan Bilangan Real
   Jika k adalah bilangan real dan A suatu matriks berordo m x n, maka k A adalah matriks berordo m x n yang elemen-elemennya adalah setiap elemen matriks A dikalikan dengan k.
   Dengan demikian,
   
   jika A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array},,\right)\right)$, maka k A = k $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{\mathrm{ka}}_{11}& {\mathrm{ka}}_{12}\\ {\mathrm{ka}}_{21}& {\mathrm{ka}}_{22}\end{array},,\right)\right)$.
   
   Contoh :
   Diberikan matriks A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$. Tentukan 2A dan -3A.
   Jawab :
   2A = 2 $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}6& 10\\ 12& 2\end{array},,\right)\right)$
   
   -3A = -3 $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}-9& -15\\ -18& -3\end{array},,\right)\right)$


2. Perkalian Matriks Dengan Matriks
   Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Hasilnya adalah matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali elemen pada baris matriks A dengan elemen pada kolom matriks B.
   Jika matriks A_{m x n} dan B _{p x q} maka matriks A dan B dapat dikalikan jika n = p dan hasil kalinya adalah matriks C_{m x q}.
   
   Jika A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array},,\right)\right)$ dan B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array},,\right)\right)$, maka A x B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\end{array},,\right)\right)$.
   
   Contoh :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& 1\end{array},,\right)\right)$, B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array},,\right)\right)$
   
   AB = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& 1\end{array},,\right)\right)$ $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4.1+5.3& 4.2+5.1\\ 2.1+1.3& 2.2+1.1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}19& 13\\ 5& 5\end{array},,\right)\right)$
   
   BA = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array},,\right)\right)$ $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& 1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1.4+2.2& 1.5+2.1\\ 3.4+1.2& 3.5+1.1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}8& 7\\ 14& 16\end{array},,\right)\right)$

Soal Latihan 1

1. Diketahui matriks A dan B sebagai berikut :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}-1& 3& -4\\ 2& 0& 5\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 3\\ 3& -1\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan :
   
   1. 3A
   2. 2A
   3. 5A^t
   4. 2A^t + 5B
   5. 2B^t + 3A


2. Diketahui matriks A dan B sebagai berikut :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{a}& 4\\ \mathrm{2b}& \mathrm{3c}\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{2c\; -\; 3b}& \mathrm{2a\; +\; 1}\\ \mathrm{a}& \mathrm{b\; +\; 7}\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan nilai c jika A = 2B^t


3. Diketahui matriks A, B dan C sebagai berikut :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& -1\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}-1& 4\\ 5& 0\end{array},,\right)\right)$
   
   C = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}1& -3& 0\\ -2& 5& 1\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan nilai dari :
   1. AB
   2. AC
   3. BC
   4. A^tC
   5. B^tC
   6. C^tA
   7. C^tB
   8. A^tB^t
   9. B^tA^t
   10. (AB)^t
   11. Apakah (AB)^t = B^tA^t


4. Tentukan nilai a dan b jika diketahui persamaan berikut :
   
   $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ 3& -2\end{array},,\right)\right)\left(\left(,,\begin{array}{cc}6& -5\\ 2& 4\end{array},,\right)\right)=\left(\left(,,\begin{array}{cc}12& -27\\ 14& -23\end{array},,\right)\right)$
   


5. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan berikut :
   
   $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& -6\end{array},,\right)\right)\left(\left(,,\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\end{array},,\right)\right)=\left(\left(,,\begin{array}{c}-13\\ 26\end{array},,\right)\right)$
   
   

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Perkalian Matriks