Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Soal Latihan 1

1. Diketahui Tan A = $\frac{1}{3}$ dan A sudut lancip. Tentukan nilai :
   1. Sin 2A
   2. Cos 2A
   3. Tan 2A
2. Diketahui Cos²A = $\frac{9}{10}$ untuk $0<2A<\frac{\pi }{2}$. Tentukan nilai :
   1. Sin 2A
   2. Cos 2A
   3. Tan 2A
3. Jika Tan x = $\frac{1}{2}$ dan Tan y = $\frac{1}{3}$. Hitunglah :
   1. Tan 2x
   2. Tan 2y
   3. Tan (2x + y)
   4. Tan (x + 2y)

Jawab :

1. Tan A = $\frac{1}{3}$, A sudut lancip
   
   
   
   Sin A = $\frac{1}{\sqrt{10}}$
   Cos A = $\frac{3}{\sqrt{10}}$
   
   1. Sin 2A = 2 Sin A Cos A
      $=2.\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{3}{\sqrt{10}}$
      $=\frac{6}{10}$
      $=\frac{3}{5}$
      
   2. Cos 2A = Cos²A - Sin²A
      $={\left(\left(,\frac{3}{\sqrt{10}},\right)\right)}^2-{\left(\left(,\frac{1}{\sqrt{10}},\right)\right)}^2$
      $=\frac{9}{10}-\frac{1}{10}$
      $=\frac{8}{10}$
      $=\frac{4}{5}$
      
   3. Tan 2A = $\frac{2\mathrm{Tan\; A}}{1-{\mathrm{Tan}}^{2}A}$
      $=\frac{2.\frac{1}{3}}{1-{\left(\left(,\frac{1}{3},\right)\right)}^2}$
      $=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}$
      $=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$
      $=\frac{2}{3}.\frac{9}{8}$
      $=\frac{3}{4}$
      
2. Cos²A = $\frac{9}{10}$
   Cos A = $\frac{3}{\sqrt{10}}$
   Sin A = $\frac{1}{\sqrt{10}}$
   Tan A = $\frac{1}{3}$
   
   1. Sin 2A = 2 Sin A Cos A
      $=2.\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{3}{\sqrt{10}}$
      $=\frac{6}{10}$
      $=\frac{3}{5}$
      
   2. Cos 2A = Cos²A - Sin²A
      $={\left(\left(,\frac{3}{\sqrt{10}},\right)\right)}^2-{\left(\left(,\frac{1}{\sqrt{10}},\right)\right)}^2$
      $=\frac{9}{10}-\frac{1}{10}$
      $=\frac{8}{10}$
      $=\frac{4}{5}$
      
   3. Tan 2A = $\frac{2\mathrm{Tan\; A}}{1-{\mathrm{Tan}}^{2}A}$
      $=\frac{2.\frac{1}{3}}{1-{\left(\left(,\frac{1}{3},\right)\right)}^2}$
      $=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}$
      $=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$
      $=\frac{2}{3}.\frac{9}{8}$
      $=\frac{3}{4}$
      
3. Tan x = $\frac{1}{2}$
   Tan y = $\frac{1}{3}$
   
   1. Tan 2x = $\frac{2\mathrm{Tan\; x}}{1-{\mathrm{Tan}}^2\mathrm{x}}$
      $=\frac{2.\frac{1}{2}}{1-{\left(\left(,\frac{1}{2},\right)\right)}^2}$
      $=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$
      $=\frac{1}{\frac{3}{4}}$
      $=\frac{4}{3}$
      
   2. Tan 2y = $\frac{2\mathrm{Tan\; y}}{1-{\mathrm{Tan}}^2\mathrm{y}}$
      $=\frac{2.\frac{1}{3}}{1-{\left(\left(,\frac{1}{3},\right)\right)}^2}$
      $=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}$
      $=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}$
      $=\frac{2}{3}.\frac{9}{8}$
      $=\frac{3}{4}$
      
   3. Tan (2x + y) = $\frac{\mathrm{Tan\; 2x}+\mathrm{Tan\; y}}{1-\mathrm{Tan\; 2x}.\mathrm{Tan\; y}}$
      $=\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{3}}{1-\frac{4}{3}.\frac{1}{3}}$
      $=\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{4}{9}}$
      $=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{9}}$
      $=\frac{5}{3}.\frac{9}{5}$
      $=3$
      
   4. Tan (x + 2y) = $\frac{\mathrm{Tan\; x}+\mathrm{Tan\; 2y}}{1-\mathrm{Tan\; x}.\mathrm{Tan\; 2y}}$
      $=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{2}.\frac{3}{4}}$
      $=\frac{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{8}}$
      $=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}}$
      $=\frac{5}{4}.\frac{8}{5}$
      $=2$