Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks

1. Penjumlahan Matriks
   Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan jika keduanya memiliki ordo yang sama.
   Hasilnya adalah matriks baru yang ordonya sama dengan matriks semula yang elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen seletak pada matriks A dan matriks B.
   Dengan demikian :
   
   Jika A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array},,\right)\right)$ dan B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array},,\right)\right)$, maka A + B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array},,\right)\right)$.
   
   Contoh :
   Diberikan matriks A dan B berikut ini :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 3\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan A + B
   
   Jawab :
   
   A + B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$ + $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 3\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3+4& 5+2\\ 6+8& 1+3\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}7& 7\\ 14& 4\end{array},,\right)\right)$


2. Pengurangan Matriks
   Dua buah matriks A dan B dapat dikurangkan jika keduanya memiliki ordo yang sama.
   Hasilnya adalah matriks baru yang ordonya sama dengan matriks semula yang elemen-elemennya diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen seletak pada matriks A dan matriks B.
   Dengan demikian :
   
   Jika A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array},,\right)\right)$ dan B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array},,\right)\right)$, maka A - B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}\\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}\end{array},,\right)\right)$.
   
   Contoh :
   Diberikan matriks A dan B berikut ini :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 3\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan A - B
   
   Jawab :
   
   A - B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 3\end{array},,\right)\right)-\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4-3& 2-5\\ 8-6& 3-1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& 2\end{array},,\right)\right)$

Soal Latihan 1

1. Diketahui matriks A, B dan C sebagai berikut :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}-3& 2\\ 1& 3\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& -5\end{array},,\right)\right)$
   
   C = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}2& -2\\ 3& -1\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan :
   1. A + B
   2. A - B
   3. B + C
   4. A - C
   5. C - B


2. Tentukan nilai x, y dan z dari persamaan matriks berikut :
   
   $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{x}& \mathrm{2y}\\ 8& \mathrm{3z}\end{array},,\right)\right)+\left(\left(,,\begin{array}{cc}5& 3\\ 1& 6\end{array},,\right)\right)=\left(\left(,,\begin{array}{cc}10& 11\\ 9& 15\end{array},,\right)\right)$
   
   


3. Diketahui matriks A dan B sebagai berikut :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}6& \mathrm{z}\\ 10& \mathrm{x}\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{2x}& \mathrm{2x}\\ 10& \frac{3}{2}\mathrm{y}\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan nilai x, y dan z jika A - B = O

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks

Matriks

1. Pengertian Matriks
   Matriks adalah suatu susunan bilangan (elemen-elemen) yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan diletakkan diantara tanda kurung.
   Contoh :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cccc}4& 1& 3& 0\\ 2& 6& 8& 1\\ 1& 7& 5& 2\end{array},,\right)\right)$
   
   Matriks A tersebut di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom atau dapat dikatakan matriks A mempunyai ordo 3 x 4, ditulis A_3x4.
   Elemen-elemen matriks A pada baris ke 1 adalah 4, 1, 3, 0.
   Elemen-elemen matriks A pada kolom ke 1 adalah 4, 2, 1.


2. Jenis-jenis Matriks
   
   1. Matriks Persegi
      Matriks Persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom atau matriks yang memiliki ordo m x m ( disebut matriks persegi ordo m )
      Contoh :
      
      A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$
      
      B = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ -3& 6& 5\\ 1& 3& 8\end{array},,\right)\right)$
      
      Matriks A disebut matriks persegi berordo 2 x 2 atau matriks persegi ordo 2.
      Matriks B disebut matriks persegi berordo 3 x 3 atau matriks persegi ordo 3.
      
   
   
   2. Matriks Baris
      Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris atau matriks berordo 1 x n, dengan n ∈ A dan n > 1.
      Contoh :
      
      M = $\left(\left(,\begin{array}{ccc}2& 3& 6\end{array},\right)\right)$
      
      N = $\left(\left(,\begin{array}{cccccc}5& 1& 3& -2& 0& -1\end{array},\right)\right)$
   
   
   3. Matriks Kolom
      Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom atau matriks yang berordo m x 1, dengan m ∈ A dan m > 1.
      Contoh :
      
      M = $\left(\left(,,\begin{array}{c}2\\ 5\\ 6\end{array},,\right)\right)$
      
      N = $\left(\left(,,\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\\ -2\\ 5\end{array},,\right)\right)$
   
   
   4. Matriks Nol
      Matriks nol adalah matriks yang tiap elemennya nol.
      Contoh :
      
      O = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array},,\right)\right)$
   
   
   5. Matriks Diagonal
      Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya, kecuali elemen-elemen diagonal utama adalah nol.
      Contoh :
      
      V = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 8\end{array},,\right)\right)$
   
   
   6. Matriks Identitas
      Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya bernilai satu, dilambangkan dengan huruf I.
      Contoh :
      
      I = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array},,\right)\right)$
   
   
   7. Matriks Segitiga
      Matriks segitiga adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah atau di atas diagonal utama bernilai nol.
      Contoh :
      
      Matriks Segitiga Atas :
      
      G = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 0& 1& 7\\ 0& 0& 4\end{array},,\right)\right)$
      
      
      Matriks Segitiga Bawah :
      
      H = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 5& 1& 0\\ 3& 8& 4\end{array},,\right)\right)$
      


3. Transpose Matriks
   Transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengubah elemen baris menjadi elemen kolom atau elemen kolom menjadi elemen baris.
   Transpose matriks A ditulis dengan notasi A¹ atau A^t.
   Jika matriks A berordo m x n maka A^t berordo n x m.
   Contoh :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array},,\right)\right)$ maka A^t = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array},,\right)\right)$


4. Kesamaan Matriks
   Dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika :
   1. Ordonya sama
   2. Elemen-elemen yang seletak sama
   Contoh :
   
   $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{2a}& \mathrm{b}\\ 4& 3\end{array},,\right)\right)=\left(\left(,,\begin{array}{cc}6& 1\\ 4& 3\end{array},,\right)\right)$
   
   Maka haruslah 2a = 6, b =1.
   Jadi haruslah a = 3, b = 1.

Soal Latihan 1

1. Diketahui matriks A sebagai berikut :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{ccccc}9& 0& 3& -7& 6\\ -5& 6& 8& 1& 4\\ 5& 7& 0& 2& 8\end{array},,\right)\right)$
   
   
   1. Sebutkan ordo dari matriks A
   2. Sebutkan elemen-elemen kolom ke 2
   3. Sebutkan elemen-elemen baris ke 3
   4. Jika a_ij menyatakan elemen baris ke i dan kolom ke j maka tentukan a₂₃, a₁₄ dan a₃₅


2. Berikan contoh matriks berordo 3x3 untuk :
   1. Matriks diagonal
   2. Matriks identitas
   3. Matriks segitiga atas
   4. Matriks segitiga bawah


3. Tulislah transpose dari matriks berikut :
   
   
   1. A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 6\end{array},,\right)\right)$
   
   
   2. B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}2& 4\\ -3& 1\\ 0& 5\end{array},,\right)\right)$
   
   
   3. C = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}4& 5& -1\\ 2& 3& 0\end{array},,\right)\right)$
   
   
   4. D = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}4& 0& 5\\ 2& 4& 7\\ -1& 3& -2\end{array},,\right)\right)$


4. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut :
   
   
   1. $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{x}& \mathrm{2y}\\ 0& 3\end{array},,\right)\right)=\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& 8\\ 0& 3\end{array},,\right)\right)$
   
   
   2. $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{x\; +\; y}& 5\\ 4& \mathrm{x\; -\; y}\end{array},,\right)\right)=\left(\left(,,\begin{array}{cc}5& 5\\ 4& 1\end{array},,\right)\right)$
   
   
   3. $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{x}& 4\\ \mathrm{2y}& \mathrm{3z}\end{array},,\right)\right)=\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{4z\; -\; 6y}& \mathrm{2x}\\ \mathrm{4x\; +\; 2}& \mathrm{2y\; +\; 14}\end{array},,\right)\right)$


5. Tentukan x dan y jika A = B^t
   
   
   1. A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{2x}& 0\\ 1& \mathrm{-4y}\end{array},,\right)\right)$ dan B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}8& 1\\ 0& 40\end{array},,\right)\right)$
   
   
   2. A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{x\; -\; 2y}& 1\\ 0& \mathrm{-3y}\end{array},,\right)\right)$ dan B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}8& 0\\ 1& 40\end{array},,\right)\right)$

Jawaban Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Matriks

Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Dalam Segitiga Siku-siku

Perhatikan Segitiga Siku-siku berikut :

Sisi a disebut sisi hadap sudut α
Sisi b disebut sisi dekat sudut α
Sisi c disebut sisi miring

Dari definisi di atas diperoleh rumus sebagai berikut :

1. Sin α = $\frac{sisi\; hadap}{sisi\; miring}=\frac{a}{c}$
2. Cos α = $\frac{sisi\; dekat}{sisi\; miring}=\frac{b}{c}$
3. Tan α = $\frac{sisi\; hadap}{sisi\; dekat}=\frac{a}{b}$
4. Cot α = $\frac{sisi\; dekat}{sisi\; hadap}=\frac{b}{a}$
5. Sec α = $\frac{sisi\; miring}{sisi\; dekat}=\frac{c}{b}$
6. Cosec α = $\frac{sisi\; miring}{sisi\; hadap}=\frac{c}{a}$

Dari rumus di atas diperoleh rumus :

1. Tan α = $\frac{Sin\; \alpha }{Cos\; \alpha }$
2. Sec α = $\frac{1}{Cos\; \alpha }$
3. Cosec α = $\frac{1}{Sin\; \alpha }$
4. Cot α = $\frac{1}{Tan\; \alpha }$

Contoh Soal :
Diketahui α sudut lancip dan sin α = $\frac{3}{5}$. Tentukan nilai perbandingan cos α dan tan α.
Jawab :

Nilai b dapat dicari dengan Dalil Pythagoras.


$b=\sqrt{c^2-a^2}$

$=\sqrt{5^2-3^2}$

$=\sqrt{25-9}$

$=\sqrt{16}$

$=4$



cos α = $\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$

tan α = $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$


Soal Latihan 1

1. Diketahui segitiga ABC sebagai berikut :
   
   
   
   
   Tentukan :
   
   
   1. Panjang AC
   2. Nilai perbandingan : sin α, cos α, tan α, cot α, sec α, cosec α






2. Pada segitiga KLM siku-siku di K, diketahui nilai cos M = $\frac{1}{5}\sqrt{5}$. Tentukan nilai tan M dan cosec M
3. Ditentukan bahwa a° adalah besar sudut XOP. Hitunglah nilai dari sin a°, cos a°, tan a°, cot a°, sec a° dan cosec a°, jika koordinat titik P adalah :
   1. (8, 6)
   2. (-4, 6)
   3. (12, -5)
   4. (-3, -4)
   5. (1, 3)

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Dalam Segitiga Siku-siku

Rumus Trigonometri Penjumlahan Dan Pengurangan Sinus Dan Cosinus

1. Sin a + Sin b = 2 Sin $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Cos $\frac{a\; -\; b}{2}$
2. Sin a - Sin b = 2 Cos $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Sin $\frac{a\; -\; b}{2}$
3. Cos a + Cos b = 2 Cos $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Cos $\frac{a\; -\; b}{2}$
4. Cos a - Cos b = - 2 Sin $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Sin $\frac{a\; -\; b}{2}$

Contoh Soal :

Hitunglah

1. Cos 75º + Cos 15º
2. Sin 75º + Cos 75º

Jawab :

1. Cos 75º + Cos 15º = 2 Cos $\frac{75°\; +\; 15°}{2}$ . Cos $\frac{75°\; -\; 15°}{2}$
   $=2\mathrm{Cos}\left(\frac{90°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{60°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Cos}\left(45°\right).\mathrm{Cos}\left(30°\right)$    ( Menggunakan Tabel Trigonometri Sudut - Sudut Istimewa )
   $=2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}$
   $=\frac{1}{2}\sqrt{6}$
2. Sin 75º + Cos 75º ?
   Cos 75º = Sin (90 - 75)º = Sin 15º ( Dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )
   Sin 75º + Cos 75º = Sin 75º + Sin 15º
   $=2\mathrm{Sin}\left(\frac{75°\; +\; 15°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{75°\; -\; 15°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Sin}\left(\frac{90°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{60°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Sin}\left(45°\right).\mathrm{Cos}\left(30°\right)$
   $=2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}$
   $=\frac{1}{2}\sqrt{6}$

Soal Latihan 1

1. Sederhanakan :
   1. $\frac{Cos\; 75°\; -\; Cos\; 15°}{Sin\; 75°\; +\; Sin\; 15°}$
   2. $\frac{Sin\; 75°\; -\; Cos\; 75°}{Cos\; 75°\; +\; Cos\; 15°}$
   3. $\frac{Cos\; 105°\; +\; Cos\; 15°}{Sin\; 105°\; -\; Sin\; 15°}$
2. Buktikan identitas berikut :
   1. $\frac{Sin\; 7a\; -\; Sin\; 5a}{Cos\; 7a\; +\; Cos\; 5a}=\mathrm{Tan\; a}$
   2. $\frac{Sin\; a\; +\; Sin\; 3a}{Cos\; a\; -\; Cos\; 3a}=\mathrm{Cot\; a}$
   3. $\frac{Sin\; a\; +\; Sin\; 2a}{Cos\; a\; -\; Cos\; 2a}=\mathrm{Cot}\frac{1}{2}\mathrm{a}$
3. Buktikan :
   1. $\frac{Sin\; 4A\; +\; Sin\; 2A}{Cos\; 4A\; +\; Cos\; 2A}=\mathrm{Tan\; 3A}$
   2. $\frac{Cos\; 3A\; -\; Cos\; 5A}{Sin\; 3A\; -\; Sin\; A}=\mathrm{2\; Sin\; 2A}$
4. Jika k = Sin a + Sin b dan m = Cos a + Cos b. Buktikan :
   1. $\mathrm{k}+\mathrm{m}=2\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left\{\mathrm{Sin}\frac{1}{2}\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{Cos}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}\left)\right\}$
   2. $\mathrm{k}=\mathrm{m}\mathrm{Tan}\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})$

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Penjumlahan Dan Pengurangan Sinus Dan Cosinus