Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks

1. Penjumlahan Matriks
   Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan jika keduanya memiliki ordo yang sama.
   Hasilnya adalah matriks baru yang ordonya sama dengan matriks semula yang elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen seletak pada matriks A dan matriks B.
   Dengan demikian :
   
   Jika A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array},,\right)\right)$ dan B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array},,\right)\right)$, maka A + B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array},,\right)\right)$.
   
   Contoh :
   Diberikan matriks A dan B berikut ini :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 3\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan A + B
   
   Jawab :
   
   A + B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$ + $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 3\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3+4& 5+2\\ 6+8& 1+3\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}7& 7\\ 14& 4\end{array},,\right)\right)$


2. Pengurangan Matriks
   Dua buah matriks A dan B dapat dikurangkan jika keduanya memiliki ordo yang sama.
   Hasilnya adalah matriks baru yang ordonya sama dengan matriks semula yang elemen-elemennya diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen seletak pada matriks A dan matriks B.
   Dengan demikian :
   
   Jika A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array},,\right)\right)$ dan B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array},,\right)\right)$, maka A - B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}{a}_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}\\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}\end{array},,\right)\right)$.
   
   Contoh :
   Diberikan matriks A dan B berikut ini :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 3\end{array},,\right)\right)$
   
   B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$
   
   Tentukan A - B
   
   Jawab :
   
   A - B = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 3\end{array},,\right)\right)$ - $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}4-3& 2-5\\ 8-6& 3-1\end{array},,\right)\right)$ = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& 2\end{array},,\right)\right)$

Matriks

1. Pengertian Matriks
   Matriks adalah suatu susunan bilangan (elemen-elemen) yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan diletakkan diantara tanda kurung.
   Contoh :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{cccc}4& 1& 3& 0\\ 2& 6& 8& 1\\ 1& 7& 5& 2\end{array},,\right)\right)$
   
   Matriks A tersebut di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom atau dapat dikatakan matriks A mempunyai ordo 3 x 4, ditulis A_3x4.
   Elemen-elemen matriks A pada baris ke 1 adalah 4, 1, 3, 0.
   Elemen-elemen matriks A pada kolom ke 1 adalah 4, 2, 1.


2. Jenis-jenis Matriks
   
   1. Matriks Persegi
      Matriks Persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom atau matriks yang memiliki ordo m x m ( disebut matriks persegi ordo m )
      Contoh :
      
      A = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}3& 5\\ 6& 1\end{array},,\right)\right)$
      
      B = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ -3& 6& 5\\ 1& 3& 8\end{array},,\right)\right)$
      
      Matriks A disebut matriks persegi berordo 2 x 2 atau matriks persegi ordo 2.
      Matriks B disebut matriks persegi berordo 3 x 3 atau matriks persegi ordo 3.
      
   
   
   2. Matriks Baris
      Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris atau matriks berordo 1 x n, dengan n ∈ A dan n > 1.
      Contoh :
      
      M = $\left(\left(,\begin{array}{ccc}2& 3& 6\end{array},\right)\right)$
      
      N = $\left(\left(,\begin{array}{cccccc}5& 1& 3& -2& 0& -1\end{array},\right)\right)$
   
   
   3. Matriks Kolom
      Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom atau matriks yang berordo m x 1, dengan m ∈ A dan m > 1.
      Contoh :
      
      M = $\left(\left(,,\begin{array}{c}2\\ 5\\ 6\end{array},,\right)\right)$
      
      N = $\left(\left(,,\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\\ -2\\ 5\end{array},,\right)\right)$
   
   
   4. Matriks Nol
      Matriks nol adalah matriks yang tiap elemennya nol.
      Contoh :
      
      O = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array},,\right)\right)$
   
   
   5. Matriks Diagonal
      Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya, kecuali elemen-elemen diagonal utama adalah nol.
      Contoh :
      
      V = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 8\end{array},,\right)\right)$
   
   
   6. Matriks Identitas
      Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya bernilai satu, dilambangkan dengan huruf I.
      Contoh :
      
      I = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array},,\right)\right)$


3. Transpose Matriks
   Transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengubah elemen baris menjadi elemen kolom atau elemen kolom menjadi elemen baris.
   Transpose matriks A ditulis dengan notasi A¹ atau A^t.
   Jika matriks A berordo m x n maka A^t berordo n x m.
   Contoh :
   
   A = $\left(\left(,,\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array},,\right)\right)$ maka A^t = $\left(\left(,,\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array},,\right)\right)$


4. Kesamaan Matriks
   Dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika :
   1. Ordonya sama
   2. Elemen-elemen yang seletak sama
   Contoh :
   
   $\left(\left(,,\begin{array}{cc}\mathrm{2a}& \mathrm{b}\\ 4& 3\end{array},,\right)\right)=\left(\left(,,\begin{array}{cc}6& 1\\ 4& 3\end{array},,\right)\right)$
   
   Maka haruslah 2a = 6, b =1.
   Jadi haruslah a = 3, b = 1.

Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Dalam Segitiga Siku-siku

Perhatikan Segitiga Siku-siku berikut :

Sisi a disebut sisi hadap sudut α
Sisi b disebut sisi dekat sudut α
Sisi c disebut sisi miring

Dari definisi di atas diperoleh rumus sebagai berikut :

1. Sin α = $\frac{sisi\; hadap}{sisi\; miring}=\frac{a}{c}$
2. Cos α = $\frac{sisi\; dekat}{sisi\; miring}=\frac{b}{c}$
3. Tan α = $\frac{sisi\; hadap}{sisi\; dekat}=\frac{a}{b}$
4. Cot α = $\frac{sisi\; dekat}{sisi\; hadap}=\frac{b}{a}$
5. Sec α = $\frac{sisi\; miring}{sisi\; dekat}=\frac{c}{b}$
6. Cosec α = $\frac{sisi\; miring}{sisi\; hadap}=\frac{c}{a}$

Dari rumus di atas diperoleh rumus :

1. Tan α = $\frac{Sin\; \alpha }{Cos\; \alpha }$
2. Sec α = $\frac{1}{Cos\; \alpha }$
3. Cosec α = $\frac{1}{Sin\; \alpha }$
4. Cot α = $\frac{1}{Tan\; \alpha }$

Contoh Soal :
Diketahui α sudut lancip dan sin α = $\frac{3}{5}$. Tentukan nilai perbandingan cos α dan tan α.
Jawab :

Nilai b dapat dicari dengan Dalil Pythagoras.


$b=\sqrt{c^2-a^2}$

$=\sqrt{5^2-3^2}$

$=\sqrt{25-9}$

$=\sqrt{16}$

$=4$



cos α = $\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$

tan α = $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$

Rumus Trigonometri Penjumlahan Dan Pengurangan Sinus Dan Cosinus

1. Sin a + Sin b = 2 Sin $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Cos $\frac{a\; -\; b}{2}$
2. Sin a - Sin b = 2 Cos $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Sin $\frac{a\; -\; b}{2}$
3. Cos a + Cos b = 2 Cos $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Cos $\frac{a\; -\; b}{2}$
4. Cos a - Cos b = - 2 Sin $\frac{a\; +\; b}{2}$ . Sin $\frac{a\; -\; b}{2}$

Contoh Soal :

Hitunglah

1. Cos 75º + Cos 15º
2. Sin 75º + Cos 75º

Jawab :

1. Cos 75º + Cos 15º = 2 Cos $\frac{75°\; +\; 15°}{2}$ . Cos $\frac{75°\; -\; 15°}{2}$
   $=2\mathrm{Cos}\left(\frac{90°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{60°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Cos}\left(45°\right).\mathrm{Cos}\left(30°\right)$    ( Menggunakan Tabel Trigonometri Sudut - Sudut Istimewa )
   $=2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}$
   $=\frac{1}{2}\sqrt{6}$
2. Sin 75º + Cos 75º ?
   Cos 75º = Sin (90 - 75)º = Sin 15º ( Dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )
   Sin 75º + Cos 75º = Sin 75º + Sin 15º
   $=2\mathrm{Sin}\left(\frac{75°\; +\; 15°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{75°\; -\; 15°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Sin}\left(\frac{90°}{2}\right).\mathrm{Cos}\left(\frac{60°}{2}\right)$
   $=2\mathrm{Sin}\left(45°\right).\mathrm{Cos}\left(30°\right)$
   $=2.\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}$
   $=\frac{1}{2}\sqrt{6}$