Rumus Trigonometri Perkalian Sinus dan Cosinus

1.  2 Sin a . Cos b = Sin ( a + b ) + Sin ( a - b )
2.  2 Cos a . Sin b = Sin ( a + b ) - Sin ( a - b )
3.  2 Cos a .Cos b = Cos ( a + b ) + Cos ( a - b )
4. - 2 Sin a . Sin b = Cos ( a + b ) - Cos ( a - b )
   

Contoh Soal :
Nyatakan sebagai jumlah sinus dan sederhanakan jika mungkin :

1. Sin 75º . Cos 15º
2. Cos 2x . Sin x

Jawab:

1. Sin 75º . Cos 15º = $\frac{1}{2}\left(\left(,\mathrm{Sin}\left(\left(,75°+15°,\right)\right)+\mathrm{Sin}\left(\left(,75°-15°,\right)\right),\right)\right)=\frac{1}{2}(\mathrm{Sin}90°+\mathrm{Sin}60°)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}\sqrt{3})=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{3}$
2. Cos 2x . Sin x = $\frac{1}{2}\left(\mathrm{Sin}\right(\mathrm{2x}+\mathrm{x})-\mathrm{Sin}(\mathrm{2x}-\mathrm{x}\left)\right)=\frac{1}{2}(\mathrm{Sin}\mathrm{3x}-\mathrm{Sin}\mathrm{x})=\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{3x}-\frac{1}{2}\mathrm{Sin}\mathrm{x}$

Soal Latihan 1

1. Nyatakan sebagai jumlah sinus atau cosinus dan sederhanakan jika mungkin :
   1. 2 Sin 145° Cos 55°
   2. Sin (π + x) . Cos (π - x)
   3. 4 Cos (x + y) . Sin (x - y)
   4. Cos 285° . Cos 15°
   5. $2.\mathrm{Cos}(\frac{\pi }{2}+\mathrm{x}).\mathrm{Cos}(\frac{\pi }{2}-\mathrm{x})$
   6. Sin (p - q) . Sin (p + q)
2. Sederhanakan :
   1. 2 Cos 50° Cos 40° - 2 Sin 95° . Sin 85°
   2. Sin 52° . Sin 68° - Sin 47° . Cos 77° - Cos 65° . Cos 81°
3. Buktikan :
   1. 2 Sin 3A . Sin 4A + 2 Cos 5A . Cos 2A - Cos 3A = Cos A
   2. Sin 3B + (Cos B + Sin B)(1 - 2 Sin 2B) = Cos 3B
   3. Cos (A + B) . Cos (A - B) + 1 = Cos²A + Cos²B
   4. 8 Sin 20° Sin 40° Sin 80° = $\sqrt{3}$
   5. Sin 52° Sin 68° - Sin 47° Cos 77° - Cos 65° Cos 81° = $\frac{1}{2}$
   6. 2 - 2 Cos 5x Cos 3x - 2 Sin 5x Sin 3x = 4 Sin² x

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

1. Sin 2a = 2 Sin a Cos a
2. Cos 2a = Cos² a - Sin² a = 2 Cos² a - 1 = 1 - 2 Sin² a
3. Tan 2a = $\frac{2\; Tan\; a}{1\; -{Tan}^{2}a}$
   

Contoh Soal :
Diketahui Cos a = $\frac{12}{13}$ dan a sudut lancip. Tentukan nilai :

1. Sin 2a
2. Cos 2a
3. Tan 2a

Jawab :
Cos a = $\frac{12}{13}$ dan a sudut lancip

Cos a = $\frac{12}{13}$
Sin a = $\frac{5}{13}$
Tan a = $\frac{5}{12}$

1. Sin 2a = 2 Sin a . Cos a = 2 . $\frac{5}{13}$ . $\frac{12}{13}$ = $\frac{120}{169}$
2. Cos 2a = Cos² a - Sin² a = ${\left(\frac{12}{13}\right)}^2$ - ${\frac{5}{13}}^2$ = $\frac{144}{169}$ - $\frac{25}{169}$ = $\frac{119}{169}$
3. Tan 2a = $\frac{2\; Tan\; a}{1\; -{Tan}^{2}a}$ = $\frac{2.\frac{5}{12}}{1-{\frac{5}{12}}^2}=\frac{\frac{10}{12}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{\frac{10}{12}}{\frac{119}{144}}=\frac{10}{12}.\frac{144}{119}=\frac{120}{144}.\frac{144}{119}=\frac{120}{119}$

Soal Latihan 1

1. Diketahui Tan A = $\frac{1}{3}$ dan A sudut lancip. Tentukan nilai :
   1. Sin 2A
   2. Cos 2A
   3. Tan 2A
2. Diketahui Cos²A = $\frac{9}{10}$ untuk $0<2A<\frac{\pi }{2}$. Tentukan nilai :
   1. Sin 2A
   2. Cos 2A
   3. Tan 2A
3. Jika Tan x = $\frac{1}{2}$ dan Tan y = $\frac{1}{3}$. Hitunglah :
   1. Tan 2x
   2. Tan 2y
   3. Tan (2x + y)
   4. Tan (x + 2y)

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

 Rumus Trigonometri Untuk Jumlah Dua Sudut Dan Selisih Dua Sudut

1. Cos ( a + b ) = Cos a . Cos b - Sin a . Sin b
2. Cos ( a - b )  = Cos a . Cos b + Sin a . Sin b
3. Sin ( a + b )  = Sin a . Cos b + Cos a . Sin b
4. Sin ( a - b )   = Sin a . Cos b - Cos a . Sin b
5. Tan ( a + b ) = $\frac{Tan\; a\; +\; Tan\; b}{1\; -\; Tan\; a\; .\; Tan\; b}$
6. Tan ( a - b )  = $\frac{Tan\; a\; -\; Tan\; b}{1\; +\; Tan\; a\; .\; Tan\; b}$

Contoh Soal :

Diketahui :
Sin a = $\frac{3}{5}$ untuk a sudut lancip
Cos b = $\frac{12}{13}$ untuk b sudut tumpul
Tentukan :

1. Sin ( a + b )
2. Cos ( b - a )
3. Tan ( a - b )

Jawab :
Sin a = $\frac{3}{5}$ untuk a sudut lancip

Sin a = $\frac{3}{5}$
Cos a = $\frac{4}{5}$
Tan a = $\frac{3}{4}$

Cos b = $\frac{12}{13}$ untuk b sudut tumpul

Sin b = Sin ( 180 - b ) = Sin b = $\frac{5}{13}$ ( dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )
Cos b = Cos ( 180 - b ) = - Cos b = - $\frac{12}{13}$ ( dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )
Tan b = Tan ( 180 - b ) = - Tan b = - $\frac{5}{12}$ ( dengan Rumus Trigonometri Sudut Berelasi )

1. Sin ( a + b ) = Sin a . Cos b + Cos a . Sin b
   = $\frac{3}{5}.-\frac{12}{13}+\frac{4}{5}.\frac{5}{13}=-\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=-\frac{16}{65}$


2. Cos ( b - a ) = Cos b . Cos a + Sin b . Sin a
   = $-\frac{12}{13}.\frac{4}{5}+\frac{5}{13}.\frac{3}{5}=-\frac{48}{65}+\frac{15}{65}=-\frac{33}{65}$


3. Tan ( a - b ) = $\frac{Tan\; a\; -\; Tan\; b}{1\; +\; Tan\; a\; .\; Tan\; b}$
   = $\frac{\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{12}\right)}{1+\frac{3}{4}.-\frac{5}{12}}=\frac{\frac{36}{48}+\frac{20}{48}}{1-\frac{15}{48}}=\frac{\frac{56}{48}}{\frac{33}{48}}=\frac{56}{33}$

Soal Latihan 1

1. Diketahui Sin a = $\frac{1}{2}$, Cos b = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, a dan b sudut lancip. Hitunglah nilai dari :
   1. Cos ( a + b )
   2. Cos ( a - b )
   3. Sin ( a + b )
   4. Sin ( a - b )
   5. Tan ( a + b )
   6. Tan ( a - b )
2. Diketahui Tan a = $-\frac{3}{4}$ dan Tan b = $\frac{7}{24}$, a sudut tumpul dan b sudut lancip. Hitunglah nilai dari :
   1. Cos ( a + b )
   2. Cos ( a - b )
   3. Sin ( a + b )
   4. Sin ( a - b )
   5. Tan ( a + b )
   6. Tan ( a - b )
3. Tentukan nilai dari :
   1. Sin 75º
   2. Cos 75º
   3. Tan 75º
   4. Tan 105º
   5. Cos 105º
   6. Cos 195º
4. Tentukan nilai dari :
   1. Sin 15º
   2. Sec 15º
   3. Cos 15º
   4. Tan 15º
5. Sederhanakanlah :
   1. Cos 200º . Cos 10º - Sin 200º . Sin 10º
   2. Cos ( $\frac{\pi }{2}$ + a ) . Cos a + Sin ( $\frac{\pi }{2}$ + a ) . Sin a
   3. $\frac{Sin\; 2a}{Sin\; a}+\frac{Cos\; 2a}{Cos\; a}$
   4. $\frac{Sin\; 160}{Sin\; 20}-\frac{Cos\; 160}{Cos\; 20}$

Jawaban Soal Latihan 1 di atas dapat dilihat pada halaman berikut :

• Jawaban Soal Latihan 1 Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut